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PannyVan/MachineLearning_Python

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机器学习算法Python实现

一、线性回归

1、代价函数

  • J(\theta ) = \frac{1}{{2{\text{m}}}}\sum\limits_{i = 1}^m{{{({h_\theta }({x^{(i)}}) -{y^{(i)}})}^2}}

  • 其中： {h_\theta }(x) ={\theta _0} +{\theta _1}{x_1} +{\theta _2}{x_2} + ...

  • 下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

  • 共有m条数据，其中{{{({h_\theta }({x^{(i)}}) -{y^{(i)}})}^2}}代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消

  • 前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去

  • 实现代码：

# 计算代价函数 def computerCost(X,y,theta): m = len(y) J = 0 J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J return J
  • 注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)

2、梯度下降算法

  • 代价函数对{{\theta _j}}求偏导得到：
    \frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial{\theta j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m{[({h_\theta }({x^{(i)}}) -{y^{(i)}})x_j^{(i)}]}
  • 所以对theta的更新可以写为：
    {\theta j} ={\theta j} - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m{[({h\theta }({x^{(i)}}) -{y^{(i)}})x_j^{(i)}]}
  • 其中\alpha 为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
  • 为什么梯度下降可以逐步减小代价函数
  • 假设函数f(x)
  • 泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)
  • 令：△x=-α*f'(x) ,即负梯度方向乘以一个很小的步长α
  • 将△x代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]²+o(△x)
  • 可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]²也是正数，所以可以得出：f(x+△x)<=f(x)
  • 所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
  • 实现代码
# 梯度下降算法 def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters): m = len(y) n = len(theta) temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式 J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值 for i in range(num_iters): # 遍历迭代次数 h = np.dot(X,theta) # 计算内积，matrix可以直接乘 temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) #梯度的计算 theta = temp[:,i] J_history[i] = computerCost(X,y,theta) #调用计算代价函数 print '.', return theta,J_history

3、均值归一化

  • 目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
  • {x_i} = \frac{{{x_i} -{\mu _i}}}{{{s_i}}}
  • 其中 {{\mu _i}} 为所有此feture数据的平均值
  • {{s_i}}可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
  • 实现代码：
# 归一化feature def featureNormaliza(X): X_norm = np.array(X) #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算 #定义所需变量 mu = np.zeros((1,X.shape[1])) sigma = np.zeros((1,X.shape[1])) mu = np.mean(X_norm,0) # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行） sigma = np.std(X_norm,0) # 求每一列的标准差 for i in range(X.shape[1]): # 遍历列 X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] # 归一化 return X_norm,mu,sigma
  • 注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

  • 代价随迭代次数的变化
    enter description here

5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

  • 导入包
from sklearn import linear_model from sklearn.preprocessing import StandardScaler #引入缩放的包
  • 归一化
 # 归一化操作 scaler = StandardScaler() scaler.fit(X) x_train = scaler.transform(X) x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))
  • 线性模型拟合
 # 线性模型拟合 model = linear_model.LinearRegression() model.fit(x_train, y)
  • 预测
 #预测结果 result = model.predict(x_test)

二、逻辑回归

1、代价函数

  • \left{\begin{gathered} J(\theta ) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m{\cos t({h_\theta }({x^{(i)}}),{y^{(i)}})} \hfill \ \cos t({h_\theta }(x),y) = \left{{\begin{array}{c}{- \log ({h_\theta }(x))} \{- \log (1 -{h_\theta }(x))} \end{array} \begin{array}{c}{y = 1} \{y = 0} \end{array} } \right. \hfill \ \end{gathered} \right.
  • 可以综合起来为： J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m{[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - }{y^{(i)}})\log (1 -{h_\theta }({x^{(i)}})] 其中： {h_\theta }(x) = \frac{1}{{1 +{e^{- x}}}}
  • 为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
  • {- \log ({h_\theta }(x))}的图像如下，即y=1时： enter description here

可以看出，当{{h_\theta }(x)}趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若{{h_\theta }(x)}趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

  • 同理{- \log (1 -{h_\theta }(x))}的图像如下（y=0）：
    enter description here

2、梯度

  • 同样对代价函数求偏导： \frac{{\partial J(\theta )}}{{\partial{\theta j}}} = \frac{1}{m}\sum\limits{i = 1}^m{[({h_\theta }({x^{(i)}}) -{y^{(i)}})x_j^{(i)}]}
    可以看出与线性回归的偏导数一致
  • 推到过程 enter description here

3、正则化

  • 目的是为了防止过拟合
  • 在代价函数中加上一项J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m{[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - }{y^{(i)}})\log (1 -{h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n{\theta _j^2}
  • 注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
  • 正则化后的代价：
# 代价函数 def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) J = 0 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 theta1[0] = 0 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1) J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程 return J
  • 正则化后的代价的梯度
# 计算梯度 def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda): m = len(y) grad = np.zeros((initial_theta.shape[0])) h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() theta1[0] = 0 grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度 return grad

4、S型函数（即{{h_\theta }(x)}）

  • 实现代码：
# S型函数 def sigmoid(z): h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置 h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) return h

5、映射为多项式

  • 因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
  • eg:映射为2次方的形式:1 +{x_1} +{x_2} + x_1^2 +{x_1}{x_2} + x_2^2
  • 实现代码：
# 映射为多项式 def mapFeature(X1,X2): degree = 3; # 映射的最高次方 out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代X） ''' 这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2 ''' for i in np.arange(1,degree+1): for j in range(i+1): temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.* out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1))) return out

6、使用scipy的优化方法

  • 梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
  • 调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
  • costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
  • initial_theta表示初始化的值,
  • fprime指定costFunction的梯度
  • args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回
 result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))

7、运行结果

  • data1决策边界和准确度
    enter description hereenter description here
  • data2决策边界和准确度
    enter description hereenter description here

8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

  • 导入包
from sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.cross_validation import train_test_split import numpy as np
  • 划分训练集和测试集
 # 划分为训练集和测试集 x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)
  • 归一化
 # 归一化 scaler = StandardScaler() scaler.fit(x_train) x_train = scaler.fit_transform(x_train) x_test = scaler.fit_transform(x_test)
  • 逻辑回归
 #逻辑回归 model = LogisticRegression() model.fit(x_train,y_train)
  • 预测
 # 预测 predict = model.predict(x_test) right = sum(predict == y_test) predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块，好观察 print predict print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度

逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll

1、随机显示100个数字

  • 我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下 enter description here 灰度图： enter description here
  • 实现代码：
# 显示100个数字 def display_data(imgData): sum = 0 ''' 显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可） - 初始化一个二维数组 - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组 - 显示即可 ''' pad = 1 display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad))) for i in range(10): for j in range(10): display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行 sum += 1 plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像 plt.axis('off') plt.show()

2、OneVsAll

  • 如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
  • 如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推... enter description here
  • 可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类

3、手写数字识别

  • 共有0-9，10个数字，需要10次分类
  • 由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理
  • 说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0....enter description here
  • 然后调用梯度下降算法求解theta
  • 实现代码：
# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda): # 初始化变量 m,n = X.shape all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前补上一列1的偏置bias class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',') '''遍历每个分类，计算对应的theta值''' for i in range(num_labels): result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法 all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中 all_theta = np.transpose(all_theta) return all_theta

4、预测

  • 之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
  • 实现代码：
# 预测 def predict_oneVsAll(all_theta,X): m = X.shape[0] num_labels = all_theta.shape[0] p = np.zeros((m,1)) X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1 h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #预测 ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率） - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字） ''' p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p

5、运行结果

  • 10次分类，在训练集上的准确度：
    enter description here

6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现

  • 1、导入包
from scipy import io as spio import numpy as np from sklearn import svm from sklearn.linear_model import LogisticRegression
  • 2、加载数据
 data = loadmat_data("data_digits.mat") X = data['X'] # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1) y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
  • 3、拟合模型
 model = LogisticRegression() model.fit(X, y) # 拟合
  • 4、预测
 predict = model.predict(X) #预测 print u"预测准确度为：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
  • 5、输出结果（在训练集上的准确度） enter description here

三、BP神经网络

1、神经网络model

  • 先介绍个三层的神经网络，如下图所示

  • 输入层（input layer）有三个units（{x_0}为补上的bias，通常设为1）

  • a_i^{(j)}表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit

  • {\theta ^{(j)}}为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重 enter description here

  • 所以可以得到：

  • 隐含层：
    a_1^{(2)} = g(\theta _{10}^{(1)}{x_0} + \theta _{11}^{(1)}{x_1} + \theta _{12}^{(1)}{x_2} + \theta _{13}^{(1)}{x_3})
    a_2^{(2)} = g(\theta _{20}^{(1)}{x_0} + \theta _{21}^{(1)}{x_1} + \theta _{22}^{(1)}{x_2} + \theta _{23}^{(1)}{x_3})
    a_3^{(2)} = g(\theta _{30}^{(1)}{x_0} + \theta _{31}^{(1)}{x_1} + \theta _{32}^{(1)}{x_2} + \theta _{33}^{(1)}{x_3})

  • 输出层
    {h_\theta }(x) = a_1^{(3)} = g(\theta _{10}^{(2)}a_0^{(2)} + \theta _{11}^{(2)}a_1^{(2)} + \theta _{12}^{(2)}a_2^{(2)} + \theta _{13}^{(2)}a_3^{(2)}) 其中，S型函数g(z) = \frac{1}{{1 +{e^{- z}}}}，也成为激励函数

  • 可以看出{\theta ^{(1)}} 为3x4的矩阵，{\theta ^{(2)}}为1x4的矩阵

  • {\theta ^{(j)}} ==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）

2、代价函数

  • 假设最后输出的{h_\Theta }(x) \in{R^K}，即代表输出层有K个单元
  • J(\Theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m{\sum\limits_{k = 1}^K{[y_k^{(i)}\log{{({h_\Theta }({x^{(i)}}))}k}} } + (1 - y_k^{(i)})\log{(1 -{h\Theta }({x^{(i)}}))_k}] 其中，{({h_\Theta }(x))_i}代表第i个单元输出
  • 与逻辑回归的代价函数J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m{[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - }{y^{(i)}})\log (1 -{h_\theta }({x^{(i)}})]差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）

3、正则化

  • L-->所有层的个数
  • {S_l}-->第l层unit的个数
  • 正则化后的代价函数为
    enter description here
  • \theta 共有L-1层，
  • 然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
  • 正则化后的代价函数实现代码：
# 代价函数 def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] # theta的中长度 # 还原theta1和theta2 Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1) # np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',') m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] # 正则化向theta^2 term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))) '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''代价''' J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m return np.ravel(J)

4、反向传播BP

  • 上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度

  • BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度

  • 假设4层的神经网络,\delta _{\text{j}}^{(l)}记为-->l层第j个单元的误差

  • \delta _{\text{j}}^{(4)} = a_j^{(4)} -{y_i}《===》{\delta ^{(4)}} ={a^{(4)}} - y（向量化）

  • {\delta ^{(3)}} ={({\theta ^{(3)}})^T}{\delta ^{(4)}}.*{g^}({a^{(3)}})

  • {\delta ^{(2)}} ={({\theta ^{(2)}})^T}{\delta ^{(3)}}.*{g^}({a^{(2)}})

  • 没有{\delta ^{(1)}}，因为对于输入没有误差

  • 因为S型函数{\text{g(z)}}的倒数为：{g^}(z){\text{= g(z)(1 - g(z))}}，所以上面的{g^}({a^{(3)}})和{g^}({a^{(2)}})可以在前向传播中计算出来

  • 反向传播计算梯度的过程为：

  • \Delta _{ij}^{(l)} = 0（\Delta 是大写的\delta ）

  • for i=1-m:
    -{a^{(1)}} ={x^{(i)}}
    -正向传播计算{a^{(l)}}（l=2,3,4...L）
    -反向计算{\delta ^{(L)}}、{\delta ^{(L - 1)}}...{\delta ^{(2)}}；
    -\Delta _{ij}^{(l)} = \Delta _{ij}^{(l)} + a_j^{(l)}{\delta ^{(l + 1)}}
    -D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^l\begin{array}{c}{}&{(j \ne 0)} \end{array}
    D_{ij}^{(l)} = \frac{1}{m}\Delta _{ij}^{(l)} + \lambda \theta _{ij}^lj = 0\begin{array}{c}{}&{j = 0} \end{array}

  • 最后\frac{{\partial J(\Theta )}}{{\partial \Theta{ij}^{(l)}}} = D{ij}^{(l)}，即得到代价函数的梯度

  • 实现代码：

# 梯度 def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda): length = nn_params.shape[0] Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1) m = X.shape[0] class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始''' Theta1_colCount = Theta1.shape[1] Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount] Theta2_colCount = Theta2.shape[1] Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount] Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一层到第二层的权重 Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二层到第三层的权重 Theta1[:,0] = 0; Theta2[:,0] = 0; '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias''' a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) a2 = sigmoid(z2) a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2)) z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2)) h = sigmoid(z3) '''反向传播，delta为误差，''' delta3 = np.zeros((m,num_labels)) delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size)) for i in range(m): delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:] Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1)) delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:]) Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1)) '''梯度''' grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m return np.ravel(grad)

5、BP可以求梯度的原因

  • 实际是利用了链式求导法则
  • 因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
  • 大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。 enter description here
  • 求误差更详细的推导过程： enter description here

6、梯度检查

  • 检查利用BP求的梯度是否正确
  • 利用导数的定义验证： \frac{{dJ(\theta )}}{{d\theta }} \approx \frac{{J(\theta + \varepsilon ) - J(\theta - \varepsilon )}}{{2\varepsilon }}
  • 求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
  • 验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
  • 实现代码：
# 检验梯度是否计算正确 # 检验梯度是否计算正确 def checkGradient(Lambda = 0): '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了''' input_layer_size = 3 hidden_layer_size = 5 num_labels = 3 m = 5 initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size); initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels) X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m) y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y y = y.reshape(-1,1) nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展开theta '''BP求出梯度''' grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) '''使用数值法计算梯度''' num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0])) step = np.zeros((nn_params.shape[0])) e = 1e-4 for i in range(nn_params.shape[0]): step[i] = e loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels, X, y, Lambda) num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e) step[i]=0 # 显示两列比较 res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1))) print res

7、权重的随机初始化

  • 神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
  • 所以应该初始化为接近0的数
  • 实现代码
# 随机初始化权重theta def randInitializeWeights(L_in,L_out): W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 对应theta的权重 epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5 W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵 return W

8、预测

  • 正向传播预测结果
  • 实现代码
# 预测 def predict(Theta1,Theta2,X): m = X.shape[0] num_labels = Theta2.shape[0] #p = np.zeros((m,1)) '''正向传播，预测结果''' X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1))) h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1)) h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2))) ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率） - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字） ''' #np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',') p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p

9、输出结果

  • 梯度检查：
    enter description here
  • 随机显示100个手写数字
    enter description here
  • 显示theta1权重
    enter description here
  • 训练集预测准确度
    enter description here
  • 归一化后训练集预测准确度
    enter description here

四、SVM支持向量机

1、代价函数

  • 在逻辑回归中，我们的代价为：
    \cos t({h_\theta }(x),y) = \left{{\begin{array}{c}{- \log ({h_\theta }(x))} \{- \log (1 -{h_\theta }(x))} \end{array} \begin{array}{c}{y = 1} \{y = 0} \end{array} } \right.，
    其中：{h_\theta }({\text{z}}) = \frac{1}{{1 +{e^{- z}}}}，z ={\theta ^T}x
  • 如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示
    enter description here
    我们想让{\theta ^T}x > > 0，即z>>0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数\cos{t_1}(z)代替逻辑回归中的cost
  • 当y=0时同样，用\cos{t_0}(z)代替 enter description here
  • 最终得到的代价函数为：
    J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m{[{y^{(i)}}\cos{t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 -{y^{(i)}})\cos{t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}}{\theta _j^2}
    最后我们想要\mathop{\min }\limits_\theta J(\theta )
  • 之前我们逻辑回归中的代价函数为：
    J(\theta ) = - \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m{[{y^{(i)}}\log ({h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 - }{y^{(i)}})\log (1 -{h_\theta }({x^{(i)}})] + \frac{\lambda }{{2m}}\sum\limits_{j = 1}^n{\theta _j^2}
    可以认为这里的C = \frac{m}{\lambda }，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明

2、Large Margin

  • 如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开
    enter description here

  • 先说一下向量内积

  • u = \left[{\begin{array}{c}{{u_1}} \{{u_2}} \end{array} } \right]，v = \left[{\begin{array}{c}{{v_1}} \{{v_2}} \end{array} } \right]

  • ||u||表示u的欧几里得范数（欧式范数），||u||{\text{= }}\sqrt{{\text{u}}_1^2 + u_2^2}

  • 向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：
    {{\text{u}}^T}v = p||u|| ={u_1}{v_1} +{u_2}{v_2}
    enter description here
    根据向量夹角公式推导一下即可，\cos \theta = \frac{{\overrightarrow{\text{u}} \overrightarrow v }}{{|\overrightarrow{\text{u}} ||\overrightarrow v |}}

  • 前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项\sum\limits_{i = 1}^m{[{y^{(i)}}\cos{t_1}({\theta ^T}{x^{(i)}}) + (1 -{y^{(i)}})\cos{t_0}({\theta ^T}{x^{(i)}})} ]要很小，所以近似为：
    J(\theta ) = C0 + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}}{\theta j^2} = \frac{1}{2}\sum\limits{j = 1}^{\text{n}}{\theta _j^2} = \frac{1}{2}(\theta _1^2 + \theta _2^2) = \frac{1}{2}{\sqrt{\theta _1^2 + \theta _2^2} ^2}，
    我们最后的目的就是求使代价最小的θ

  • 由
    \left{{\begin{array}{c}{{\theta ^T}{x^{(i)}} \geqslant 1} \{{\theta ^T}{x^{(i)}} \leqslant - 1} \end{array} } \right.\begin{array}{c}{({y^{(i)}} = 1)} \{({y^{(i)}} = 0)} \end{array} 可以得到：
    \left{{\begin{array}{c}{{p^{(i)}}||\theta || \geqslant 1} \{{p^{(i)}}||\theta || \leqslant - 1} \end{array} } \right.\begin{array}{c}{({y^{(i)}} = 1)} \{({y^{(i)}} = 0)} \end{array} ，p即为x在θ上的投影

  • 如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则p||\theta || \geqslant 1或者p||\theta || \leqslant - 1，若是p很小，则需要||\theta ||很大，这与我们要求的θ使||\theta || = \frac{1}{2}\sqrt{\theta _1^2 + \theta _2^2} 最小相违背，所以最后求的是large margin
    enter description here

3、SVM Kernel（核函数）

  • 对于线性可分的问题，使用线性核函数即可

  • 对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式1 +{x_1} +{x_2} + x_1^2 +{x_1}{x_2} + x_2^2，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核

  • 高斯核函数为：f(x) ={e^{- \frac{{||x - u|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}
    假设如图几个点， enter description here 令：
    {f_1} = similarity(x,{l^{(1)}}) ={e^{- \frac{{||x -{l^{(1)}}|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}
    {f_2} = similarity(x,{l^{(2)}}) ={e^{- \frac{{||x -{l^{(2)}}|{|^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}} . . .

  • 可以看出，若是x与{l^{(1)}}距离较近，==》{f_1} \approx{e^0} = 1，（即相似度较大）
    若是x与{l^{(1)}}距离较远，==》{f_2} \approx{e^{- \infty }} = 0，（即相似度较低）

  • 高斯核函数的σ越小，f下降的越快
    enter description hereenter description here

  • 如何选择初始的{l^{(1)}}{l^{(2)}}{l^{(3)}}...

  • 训练集：(({x^{(1)}},{y^{(1)}}),({x^{(2)}},{y^{(2)}}),...({x^{(m)}},{y^{(m)}}))

  • 选择：{l^{(1)}} ={x^{(1)}},{l^{(2)}} ={x^{(2)}}...{l^{(m)}} ={x^{(m)}}

  • 对于给出的x，计算f,令：f_0^{(i)} = 1所以：{f^{(i)}} \in{R^{m + 1}}

  • 最小化J求出θ，
    J(\theta ) = C\sum\limits_{i = 1}^m{[{y^{(i)}}\cos{t_1}({\theta ^T}{f^{(i)}}) + (1 -{y^{(i)}})\cos{t_0}({\theta ^T}{f^{(i)}})} ] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^{\text{n}}{\theta _j^2}

  • 如果{\theta ^T}f \geqslant 0，==》预测y=1

4、使用scikit-learn中的SVM模型代码

 '''data1——线性分类''' data1 = spio.loadmat('data1.mat') X = data1['X'] y = data1['y'] y = np.ravel(y) plot_data(X,y) model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
  • 非线性可分的，默认核函数为rbf
 '''data2——非线性分类''' data2 = spio.loadmat('data2.mat') X = data2['X'] y = data2['y'] y = np.ravel(y) plt = plot_data(X,y) plt.show() model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好

5、运行结果

  • 线性可分的决策边界：
    enter description here
  • 线性不可分的决策边界：
    enter description here

五、K-Means聚类算法

1、聚类过程

  • 聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类

  • K-Means算法分为两个步骤

  • 第一步：簇分配，随机选K个点作为中心，计算到这K个点的距离，分为K个簇

  • 第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。

  • 如下图所示：

  • 随机分配的聚类中心
    enter description here

  • 重新计算聚类中心，移动一次
    enter description here

  • 最后10步之后的聚类中心
    enter description here

  • 计算每条数据到哪个中心最近实现代码：

# 找到每条数据距离哪个类中心最近 def findClosestCentroids(X,initial_centroids): m = X.shape[0] # 数据条数 K = initial_centroids.shape[0] # 类的总数 dis = np.zeros((m,K)) # 存储计算每个点分别到K个类的距离 idx = np.zeros((m,1)) # 要返回的每条数据属于哪个类 '''计算每个点到每个类中心的距离''' for i in range(m): for j in range(K): dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1)) '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别 - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值 - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标 - 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以） ''' dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) return idx[0:dis.shape[0]] # 注意截取一下
  • 计算类中心实现代码：
# 计算类中心 def computerCentroids(X,idx,K): n = X.shape[1] centroids = np.zeros((K,n)) for i in range(K): centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值 return centroids

2、目标函数

  • 也叫做失真代价函数
  • J({c^{(1)}}, \cdots ,{c^{(m)}},{u_1}, \cdots ,{u_k}) = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m{||{x^{(i)}} -{u_{{c^{(i)}}}}|{|^2}}
  • 最后我们想得到：
    enter description here
  • 其中{c^{(i)}}表示第i条数据距离哪个类中心最近，
  • 其中{u_i}即为聚类的中心

3、聚类中心的选择

  • 随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
  • 随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
  • 实现代码：(这里随机一次)
# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心 def kMeansInitCentroids(X,K): m = X.shape[0] m_arr = np.arange(0,m) # 生成0-m-1 centroids = np.zeros((K,X.shape[1])) np.random.shuffle(m_arr) # 打乱m_arr顺序 rand_indices = m_arr[:K] # 取前K个 centroids = X[rand_indices,:] return centroids

4、聚类个数K的选择

  • 聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数
  • 肘部法则（Elbow method）
  • 作代价函数J和K的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K就取拐点处的值，下图此时K=3enter description here
  • 若是很平滑就不明确，人为选择。
  • 第二种就是人为观察选择

5、应用——图片压缩

  • 将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
  • 执行聚类的算法代码：
# 聚类算法 def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process): m,n = X.shape # 数据条数和维度 K = initial_centroids.shape[0] # 类数 centroids = initial_centroids # 记录当前类中心 previous_centroids = centroids # 记录上一次类中心 idx = np.zeros((m,1)) # 每条数据属于哪个类 for i in range(max_iters): # 迭代次数 print u'迭代计算次数：%d'%(i+1) idx = findClosestCentroids(X, centroids) if plot_process: # 如果绘制图像 plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程 previous_centroids = centroids # 重置 centroids = computerCentroids(X, idx, K) # 重新计算类中心 if plot_process: # 显示最终的绘制结果 plt.show() return centroids,idx # 返回聚类中心和数据属于哪个类

6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类

  • 导入包
 from sklearn.cluster import KMeans
  • 使用模型拟合数据
 model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据
  • 聚类中心
 centroids = model.cluster_centers_ # 聚类中心

7、运行结果

  • 二维数据类中心的移动
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  • 图片压缩
    enter description here

六、PCA主成分分析（降维）

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